设A B分别是s×n s×m矩阵 证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是rank(A)=rank

大学本科 已帮助: 时间:2024-11-13 20:12:03

设A,B分别是s×n,s×m矩阵,证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是rank(A)=rank(A B)
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难度:⭐⭐⭐

题库:大学本科,理学,数学类

标签:必要条件,矩阵,方程

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4j8***101

2024-11-13 20:12:03

正确答案:记B=(β1β2……βm)充分性:若rank(A)=rank((AB))则rank(A)=rank((Aβi))i=12…m(否则有rank(A)ii=12…m有解.记X=(x1x2…xm)其中xi为Ax=βi的解.则AX= (Ax1Ax2…Axm)=(β1β2……βm)=B.必要性:若存在矩阵X使得AX=B;记X一(x1x2…xm)则Ax=βii=12…m即B的每一列均为A的各列的线性组合.所以(AB)的每一列均可由A的各列线性表示.而显然A的每一列均可由(AB)的各列线性表示.所以A与(AB)的列向量等价.所以rank(A)=rank((AB)).
记B=(β1β2……βm)充分性:若rank(A)=rank((A,B)),则rank(A)=rank((A,βi)),i=1,2,…,m(否则,有rank(A)i,i=1,2,…,m有解.记X=(x1,x2,…,xm),其中xi为Ax=βi的解.则AX=(Ax1,Ax2,…,Axm)=(β1β2……βm)=B.必要性:若存在矩阵X,使得AX=B;记X一(x1,x2…,xm),则Ax=βi,i=1,2,…,m即B的每一列均为A的各列的线性组合.所以(A,B)的每一列均可由A的各列线性表示.而显然A的每一列均可由(A,B)的各列线性表示.所以A与(A,B)的列向量等价.所以rank(A)=rank((A,B)).

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