设A B分别是s×n s×m矩阵 证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是rank(A)=rank

正确答案：记B=(β₁β₂……β_m)充分性：若rank(A)=rank((AB))则rank(A)=rank((Aβ_i))i=12…m(否则有rank(A)ii=12…m有解．记X=(x₁x₂…x_m)其中x_i为Ax=β_i的解．则AX= (Ax₁Ax₂…Ax_m)=(β₁β₂……β_m)=B．必要性：若存在矩阵X使得AX=B；记X一(x₁x₂…x_m)则Ax=β_ii=12…m即B的每一列均为A的各列的线性组合．所以(AB)的每一列均可由A的各列线性表示．而显然A的每一列均可由(AB)的各列线性表示．所以A与(AB)的列向量等价．所以rank(A)=rank((AB))．
记B=(β1β2……βm)充分性：若rank(A)=rank((A,B)),则rank(A)=rank((A,βi)),i=1,2,…,m(否则,有rank(A)i,i=1,2,…,m有解．记X=(x1,x2,…,xm),其中xi为Ax=βi的解．则AX=(Ax1,Ax2,…,Axm)=(β1β2……βm)=B．必要性：若存在矩阵X,使得AX=B；记X一(x1,x2…,xm),则Ax=βi,i=1,2,…,m即B的每一列均为A的各列的线性组合．所以(A,B)的每一列均可由A的各列线性表示．而显然A的每一列均可由(A,B)的各列线性表示．所以A与(A,B)的列向量等价．所以rank(A)=rank((A,B))．