rank{α1 … αs β1 … βr)≤rank{α1 … αr)+rank{β1 … βr).
rank{α1,…,αs,β1,…,βr)≤rank{α1,…,αr)+rank{β1,…,βr).
请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!
参考解答
正确答案:不妨设rank{α1…αs)=r1rank{β1…βr)=r2rank{α1…αsβ1…βr)=r3只需证明:r3≤r1+r2显然r1或r2有一个或两个为零时成立当r1r2≠0时不妨设α1…αr;β1…βr;δ1δ2…δr;为别为向量组α1α2…αs;β1β2…βr;α1α2…β1β2…βr.的极大无关组显然δ1δ2……δr3;可由α1…αr1β1…βr2线性表示又因为δ1δ2……δr3线性无关故r3≤r1+r1.
不妨设rank{α1,…,αs)=r1,rank{β1,…,βr)=r2,rank{α1,…,αs,β1,…,βr)=r3只需证明:r3≤r1+r2显然r1或r2有一个或两个为零时成立当r1,r2≠0时,不妨设α1,…,αr;β1,…,βr;δ1,δ2,…,δr;为别为向量组α1,α2,…,αs;β1,β2,…,βr;α1α2,…,β1β2,…,βr.的极大无关组显然,δ1,δ2,……,δr3;可由α1…αr1,β1…βr2,线性表示又因为δ1,δ2,……,δr3线性无关,故r3≤r1+r1.
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