方程组给定一个非齐次线性方程组I 任取I的有限多个解：r1 r2 … rn 证：c1r1＋c2r2＋

正确答案：若r₁r₂…r_t为非齐次线性方程组I的解则r₁一r₂r₂一r₃…r_t-1一r_t为其导出组的解且其线性组合仍为导出组的解．若c₁r₁+c₂r₂+…+c_tr_t是I的解则有c₁r₁+c₂r₂+…+c_tr_t=c₁(r₁一r₂)+(c₁+c₂)(r₂一r₃)+…+ (c₁+c₂+…+c_t-1)(r_t-1一r₁)+(c₁+c₂+…+c_t-1+c_t)r_t (*)为(I)的解由于c₁(r₁—r₂)+(c₁+c₂)(r₂一r₃)+…+(c₁+c₂+…+c_t-1)(r_t-1一r_t)为(I)导出的解所以只有c₁+c₂+…+c_t-1+c_t=1时命题才成立．反之若c₁+c₂+…c_t-1+c_t=1则(*)仍成立．从而c₁r₁+c₂r₂+…+c_tr_t是I的解．故c₁r₁+c₂r₂+…+c_tr_t为I的解的充分必要条件是c₁+c₂+…+c_t=1
若r1,r2,…,rt为非齐次线性方程组I的解,则r1一r2,,r2一r3,…,rt-1一rt为其导出组的解,且其线性组合仍为导出组的解．若c1r1+c2r2+…+ctrt是I的解,则有c1r1+c2r2+…+ctrt=c1(r1一r2)+(c1+c2)(r2一r3)+…+(c1+c2+…+ct-1)(rt-1一r1)+(c1+c2+…+ct-1+ct)rt(*)为(I)的解,由于c1(r1—r2)+(c1+c2)(r2一r3)+…+(c1+c2+…+ct-1)(rt-1一rt)为(I)导出的解,所以只有c1+c2+…+ct-1+ct=1时,命题才成立．反之,若c1+c2+…ct-1+ct=1,则(*)仍成立．从而c1r1+c2r2+…+ctrt是I的解．故c1r1+c2r2+…+ctrt为I的解的充分必要条件是c1+c2+…+ct=1