数域K上的n个方程的n元线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=β对任何β∈Kn都有解的充分必要

正确答案：设对于任何β∈Kⁿ线性方程组x₁α₁+x₂α₂+…+x_nα_n=β均有解．设ε₁ε₂…ε_n为Kⁿ的一个组基则由条件方程组x₁α₁+x₂α₂+…+x_nα_n=ε_i(i=12…n)均有解即ε_i均可由α₁α₂……α_n线性表示．所以rank(α₁α₂……α_n。)≥rank(ε₁ε₂…ε_n)=n即rank(α₁α₂……α_n)≥n．另一方面由于α_i∈Kⁿ(i=12…n)所以rank(α₁α₂……α_n)≤n．所以rank(α₁α₂……α_n)=n即α₁α₂……α_n线性无关．从而｜A｜≠0．反之若｜A｜=0则线性方程组x₁α₁+x₂α₂+…+x_nα_n=ββ∈Kⁿ的系数行列式不为零．根据克莱姆法则知方程组必有解．
设对于任何β∈Kn,线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=β均有解．设ε1,ε2,…,εn为Kn的一个组基,则由条件方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=εi(i=1,2,…,n)均有解,即εi均可由α1,α2……αn线性表示．所以,rank(α1,α2……αn。)≥rank(ε1,ε2,…,εn)=n,即rank(α1,α2……αn)≥n．另一方面,由于αi∈Kn(i=1,2,…,n),所以rank(α1,α2……αn)≤n．所以rank(α1,α2……αn)=n,即α1,α2……αn线性无关．从而｜A｜≠0．反之,若｜A｜=0,则线性方程组x1α1+x2α2+…+xnαn=β,β∈Kn的系数行列式不为零．根据克莱姆法则知方程组必有解．