如果n级实矩阵A的特征多项式在复数域中的根都是实数 则A一定正交相似于上三角矩阵．请帮忙给出正确答案

正确答案：可用数学归纳法来证．当n=1时一级实矩阵已经是上三角矩阵取I₁这个正交矩阵即有(I₁)^-1(α)I₁=(α)．假设特征多项式的根都是实数的(n一1)级实矩阵正交相似于一个上三焦矩阵．现在来看n级实矩阵A．由于A的特征多项式的根都是实数设λ₁是A的一个特征值η₁是属于λ₁的特征向量并且｜η₁｜=1则η₁经过施密特正交化和单位化可以扩充成Rⁿ的一个标准正交基：η₁η₂……η_n于是T₁=(η₁η₂……η_n)是一个正交矩阵于是我们有T₁^-1AT₁=T₁^-1(Aη₁Aη₂……Aη_n)=(T₁^-1λ₁η₁T₁^-1λ₁η₂…T₁^-1λ₁η₁)因为T₁^-1T₁=1所以有T₁^-1(η₁η₂……η_n)=(ε₁ε₂…ε_n)从而有T₁^-1η₁=ε₁T₁^-1λ₁η₁=λ₁ε₁从而T₁^-1AT₁的第1列是λ₁ε₁．于是可以设T₁^-1AT₁=其中B是(n—1)级矩阵因为且｜λI一A｜的根都是实数从而｜λI_n-1一B｜的根都是实数由归纳法假设存在有(n一1)级正交矩阵T₂使T₂^-1B T₂=由归纳法知命题成立
可用数学归纳法来证．当n=1时,一级实矩阵已经是上三角矩阵,取I1这个正交矩阵,即有(I1)-1(α)I1=(α)．假设特征多项式的根都是实数的(n一1)级实矩阵正交相似于一个上三焦矩阵．现在来看n级实矩阵A．由于A的特征多项式的根都是实数,设λ1是A的一个特征值,η1是属于λ1的特征向量,并且｜η1｜=1,则η1经过施密特正交化和单位化可以扩充成Rn的一个标准正交基：η1,η2,……ηn于是T1=(η1,η2,……ηn)是一个正交矩阵,于是我们有T1-1AT1=T1-1(Aη1,Aη2,……Aηn)=(T1-1λ1η1,T1-1λ1η2,…,T1-1λ1η1),因为T1-1T1=1,所以有T1-1(η1,η2,……ηn)=(ε1,ε2,…,εn),从而有T1-1η1=ε1,T1-1λ1η1=λ1ε1,从而T1-1AT1的第1列是λ1ε1．于是可以设T1-1AT1=其中B是(n—1)级矩阵,因为且｜λI一A｜的根都是实数,从而｜λIn-1一B｜的根都是实数,由归纳法假设存在有(n一1)级正交矩阵T2,使T2-1BT2=由归纳法知命题成立