已知线性方程组设A1是s×n矩阵A=(αij)的前s一1行组成的子矩阵．证明：如果以A1为系数矩阵的

正确答案：设以A₁为系数矩阵的齐次线性方程组为： 由①加上方程α_s1x₁+α_s2x₂+…+α_snx_n=0组成下列新方程组因为以A₁为系数矩阵的齐次线性方程组的解都是方程α_s1x₁+α_s2x₂+…+α_snx_n=0的解即方程组①的解都是方程组②的解而方程组②的解又都是方程组①的解即组①与组②为同解方程组从而有相同的基础解系．设基础解系含有n一r个向量于是两者的系数矩阵有相同的秩r即他们的系数矩阵的行向量组α₁α₂……α_s—1与α₁α₂……α_s—1α_s的秩相同于是α₁α₂……α_s—1的一个极大线性无关组也为α₁α₂……α_s—1α_s的一个极大线性无关组所以α_s可由α₁α₂……α_s—1极大线性无关组线性表示从而α_s可由α₁α₂……α_s—1线性表示．
设以A1为系数矩阵的齐次线性方程组为：由①加上方程αs1x1+αs2x2+…+αsnxn=0组成下列新方程组因为以A1为系数矩阵的齐次线性方程组的解都是方程αs1x1+αs2x2+…+αsnxn=0的解,即方程组①的解都是方程组②的解,而方程组②的解又都是方程组①的解,即组①与组②为同解方程组,从而有相同的基础解系．设基础解系含有n一r个向量,于是两者的系数矩阵有相同的秩r,即他们的系数矩阵的行向量组α1,α2……αs—1与α1,α2……αs—1,αs的秩相同,于是α1,α2……αs—1的一个极大线性无关组也为α1,α2……αs—1,αs的一个极大线性无关组,所以αs可由α1,α2……αs—1极大线性无关组线性表示,从而αs可由α1,α2……αs—1线性表示．