设α1 α2……αn为n维欧氏空间V的一组基．证明：这组基是标准正交基的充分与必要条件是 对V中任意

正确答案：必要性：设α₁α₂……α_n为标准正交基而α=k₁α₁+k₂α₂+…k_nα_n则 (αα_i)=[(k₁α₁+k₂α₂+…k_nα_n)α_i又因为k_i(α_iα_i)=k_i故 α=(αα₁)α₁+(αα₂)α₂+…+(αα_n)α_n．充分性：设对V中任意α均有α=(αα₁)α₁+(αα₂)α₂+…+(αα_n)α_n．则由于α_i=0α₁+…+1.α_i+…+0α_nα_i=(α₁α₁)α₁+…+(α_iα_i)α_i+…+(α_iα_n)α_n而在基下的表示法唯一故(α_iα_i)=1(α_iα_j)=0i≠j．即α₁α₂……α_n为标准正交基．
必要性：设α1,α2……αn为标准正交基,而α=k1α1+k2α2+…knαn,则(α,αi)=[(k1α1+k2α2+…knαn),αi又因为ki(αi,αi)=ki故α=(α,α1)α1+(α,α2)α2+…+(α,αn)αn．充分性：设对V中任意α均有α=(α,α1)α1+(α,α2)α2+…+(α,αn)αn．则由于αi=0α1+…+1.αi+…+0αn,αi=(α1,α1)α1+…+(αi,αi)αi+…+(αi,αn)αn,而在基下的表示法唯一,故(αi,αi)=1,(αi,αj)=0,i≠j．即α1,α2……αn为标准正交基．