数域K上n级幂等矩阵A一定可对角化 并且A的相似标准形是diag{Ir 0) 其中r=rank(A)

正确答案：当r=0时A=0；当r=n时A=I．在这两种情况下结论显然成立．下面设0＜r＜n．习题5．5的第5题已经证明了A的特征值为1或0且有rank(A)+rank(I一A)=n．因为rank(A)=r 所以rank(I一A)=n一r所以齐次线性方程组AX=0的解空间维数为n—rank(A)=n—r(I一A)X=0的解空间维数为n一rank(f—A)=r所以A属于0和1的特征子空间维数之和为n—r+r=n故A可对角化(定理5)rank(A)=r特征值非0即1所以A的相似标准形是diag{I_r0．
当r=0时,A=0；当r=n时,A=I．在这两种情况下结论显然成立．下面设0＜r＜n．习题5．5的第5题已经证明了A的特征值为1或0,且有rank(A)+rank(I一A)=n．因为rank(A)=r,所以rank(I一A)=n一r,所以齐次线性方程组AX=0的解空间维数为n—rank(A)=n—r,(I一A)X=0的解空间维数为n一rank(f—A)=r,所以A属于0和1的特征子空间维数之和为n—r+r=n,故A可对角化(定理5),rank(A)=r,特征值非0即1,所以A的相似标准形是diag{Ir,0．