设U是Kn的一个非零子空间 证明：U中任一线性无关的向量组可以扩充成U的一个基．请帮忙给出正确答案和

正确答案：假设α_j1α_j2……α_jr是向量组α₁α₂……α_m的一个线性无关组．若α₁α₂……α_m任一个向量均可由α_j1α_j2……α_js线性表示则α_j1α_j2……α_js为α₁α₂……α_m的一个极大无关组．若向量组中有向量α_i1不能由α_j1α_j2……α_js线性表示则α_j1α_j2…α_jrα_i1为α₁α₂……α_m的一个线性无关组．若α_j1α_j2…α_jsα_i1是α₁α₂……α_m的一个极大无关组．命题得证．若α_j1α_j2…α_jsα_i1不是α₁α₂……α_m的一个极大无关组同理向量组中必有α_i2不能由α_j1α_j2…α_jsα_i1线与表示则α_j1α_j2…α_jsα_i1α_i2必线性无关．继续上述过程可以得到一个包含α_j1α_j2…α_js在内的线性无关组使得α₁α₂……α_m中的每一个向量均可由它线性表示即它是向量组中一个包含α_j1α_j2……α_js的极大线性无关向量组即每一个无关组都可以扩充为U的一个基．
假设αj1,αj2……αjr是向量组α1,α2……αm的一个线性无关组．若α1,α2……αm任一个向量均可由αj1,αj2……αjs线性表示,则αj1,αj2……αjs为α1,α2……αm的一个极大无关组．若向量组中有向量αi1不能由αj1,αj2……αjs线性表示,则αj1,αj2…,αjr,αi1为α1,α2……αm的一个线性无关组．若αj1,αj2…,αjs,αi1是α1,α2……αm的一个极大无关组．命题得证．若αj1,αj2,…,αjs,αi1不是α1,α2……αm的一个极大无关组,同理,向量组中必有αi2不能由αj1,αj2,…,αjs,αi1线与表示,则αj1,αj2…αjs,αi1,αi2必线性无关．继续上述过程,可以得到一个包含αj1,αj2…,αjs在内的线性无关组,使得α1,α2……αm中的每一个向量均可由它线性表示,即它是向量组中一个包含αj1,αj2……αjs的极大线性无关向量组,即每一个无关组都可以扩充为U的一个基．