试用n＝1 2 3 4的Newton－cotes求积公式计算定积分I＝设f(χ)∈C[a b] 证明

正确答案：因为f(χ)∈C[ab故∫_a^bf(χ)dχ存在。由定积分定义对于[ab等距划分：a＝χ₀＜χ₁＜χ₂…χ_n＝b由定积分定义 ∫_a^bf(χ)dχ＝f(ξ_k)h 其中h＝ξ_k∈[χ_k-1χ_k。 而对于复化梯形求积公式有[f(χ_k-1)＋f(χ_k) 因为f(χ)∈C[ab所以存在ξ_k∈(χ_k-1χ_k)使得f(ξ_k)＝(f(χ_k-1)＋f(χ_k))故有 即复化梯形公式当n→∞时收敛到∫f(χ)dχ。同理 因为fχ)∈C[ab所以存在ξ_k∈(χ_k-1χ_k)使得f(ξ_k)＝(f(χ_k-1)＋4f()＋f(χ_k))故有 即复化simpson公式当n→∞时收敛到∫_a^bf(χ)dχ。
因为f(χ)∈C[a,b,故∫abf(χ)dχ存在。由定积分定义,对于[a,b等距划分：a＝χ0＜χ1＜χ2…χn＝b,由定积分定义∫abf(χ)dχ＝f(ξk)h其中h＝,ξk∈[χk-1,χk。而对于复化梯形求积公式有[f(χk-1)＋f(χk)因为f(χ)∈C[a,b,所以存在ξk∈(χk-1,χk),使得f(ξk)＝(f(χk-1)＋f(χk)),故有即复化梯形公式当n→∞时收敛到∫f(χ)dχ。同理因为fχ)∈C[a,b,所以存在ξk∈(χk-1,χk),使得f(ξk)＝(f(χk-1)＋4f()＋f(χk)),故有即复化simpson公式当,n→∞时收敛到∫abf(χ)dχ。