已知函数y＝(χ)过点(1 0) (2 －5) (3 －6) (4 3) 求经过这些点的Lagran

正确答案：据题意可设 P(χ)＝f(χ₀)＋(χ－χ₀)＋B(χ－χ₀)(χ－χ₂)＋A(χ－χ₀)(χ－χ₁)(χ－χ₂) 其中AB为待定常数则 p′(χ)＝＋B(2χ－χ₀－χ₂) ＋A[(χ－χ₁)(χ－χ₀)＋(χ－χ₀)(χ－χ₂)＋(χ－χ₀)(χ－χ₁) P〞(χ)＝2B＋2A(3χ－χ₁－χ₂) 由题设条件则有 解方程组得 将AB代入p(χ)即可。 取χ₀＝－1χ₁＝0χ₂＝1得 故p(χ)＝f(－1)＋(χ＋1)＋(χ²－1)f〞(0)－(χ³－χ)(2f〞(0)＋f(1)－f(－1))为导出余式可设 R(χ)＝f(χ)－p(χ)＝k(χ)(χ－1)(χ²＋1)(χ－1) 其中k(χ)为待定函数引进辅助函数g(t)＝f(t)－p(χ)－k(χ)(t⁴－1) 易知g(χ)＝g(－1)＝g(1)＝g′(0)＝g〞(0)＝0 反复应用RoUe定理可知存在一点ξ∈(－11)使 g⁽⁴⁾(ξ)＝f⁽⁴⁾(ξ)－k(χ)4!＝0 所以k(χ)＝ 故f(χ)－p(χ)＝(ξ)ξ∈(－11)
据题意可设P(χ)＝f(χ0)＋(χ－χ0)＋B(χ－χ0)(χ－χ2)＋A(χ－χ0)(χ－χ1)(χ－χ2)其中A,B为待定常数,则p′(χ)＝＋B(2χ－χ0－χ2)＋A[(χ－χ1)(χ－χ0)＋(χ－χ0)(χ－χ2)＋(χ－χ0)(χ－χ1)P〞(χ)＝2B＋2A(3χ－χ1－χ2)由题设条件,则有解方程组得将A,B代入p(χ)即可。取χ0＝－1,χ1＝0,χ2＝1得故p(χ)＝f(－1)＋(χ＋1)＋(χ2－1)f〞(0)－(χ3－χ)(2f〞(0)＋f(1)－f(－1))为导出余式,可设R(χ)＝f(χ)－p(χ)＝k(χ)(χ－1)(χ2＋1)(χ－1)其中k(χ)为待定函数,引进辅助函数g(t)＝f(t)－p(χ)－k(χ)(t4－1)易知g(χ)＝g(－1)＝g(1)＝g′(0)＝g〞(0)＝0反复应用RoUe定理可知,存在一点ξ∈(－1,1)使g(4)(ξ)＝f(4)(ξ)－k(χ)4!＝0所以k(χ)＝故f(χ)－p(χ)＝(ξ),ξ∈(－1,1)