设P∈Rn×n为非奇异 又‖χ‖是Rn上的一种向量范数 证明： (1)是Rn上的一种向量范数； (2

正确答案：设y＝Pχ则y∈Rⁿ由向量范数定义验证： (1)当χ≠0因为P非奇异故y＝Pχ≠0所以 ‖χ‖_*＝‖Pχ‖＝‖y‖≥0 当且仅当y＝0即χ＝0时等号成立。 (2)对任意k∈R有 ‖kχ‖＝‖P(kχ)‖＝‖kPχ‖＝‖ky‖ ＝｜k｜‖y‖＝｜k｜‖Pχ‖＝｜K｜‖χ‖_* 即‖kχ‖_*＝｜k｜‖χ‖_*成立。 (3)对任意χ₁χ₂∈Rⁿ则有 ‖χ₁＋χ₂‖_*＝‖P(χ₁＋χ₂)‖＝‖Pχ₁＋χ₂‖ ≤‖Pχ₁‖＋‖Pχ₂‖＝‖χ₁‖_*＋‖χ₂‖_* 即‖χ₁＋χ₂‖_*≤‖χ₁‖_*＋‖χ₂‖_*成立所以是Rⁿ上的一种向量范数。 由诱导范数定义知 所以‖χ‖的诱导范数‖A‖_*＝‖PAP^-1‖。
设y＝Pχ,则y∈Rn,由向量范数定义验证：(1)当χ≠0,因为P非奇异,故y＝Pχ≠0,所以‖χ‖*＝‖Pχ‖＝‖y‖≥0当且仅当y＝0,即χ＝0时等号成立。(2)对任意k∈R有‖kχ‖＝‖P(kχ)‖＝‖kPχ‖＝‖ky‖＝｜k｜‖y‖＝｜k｜‖Pχ‖＝｜K｜‖χ‖*即‖kχ‖*＝｜k｜‖χ‖*成立。(3)对任意χ1,χ2∈Rn,则有‖χ1＋χ2‖*＝‖P(χ1＋χ2)‖＝‖Pχ1＋χ2‖≤‖Pχ1‖＋‖Pχ2‖＝‖χ1‖*＋‖χ2‖*即‖χ1＋χ2‖*≤‖χ1‖*＋‖χ2‖*成立,所以是Rn上的一种向量范数。由诱导范数定义知所以‖χ‖的诱导范数‖A‖*＝‖PAP-1‖。