设A B为任意非奇异矩阵 证明： (1)Cond(A)≥1； (2)Cond(AB)≤Cond(A)
设A，B为任意非奇异矩阵，证明： (1)Cond(A)≥1； (2)Cond(AB)≤Cond(A)Cond(B)。
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参考解答
456***102
2024-11-17 06:46:40
正确答案：(1)设非奇异矩阵A的特征值为λi(i＝12…n)则 ρ(A)＝
因为ρ(A)≤‖A‖ρ(A-1)≤‖A-1‖所以 Cond(A)＝‖A‖‖A-1‖≥ρ(A)ρ(A-1)＝
≥1 即Cond(A)≥1成立。 (2)因为 Cond(AB)＝‖AB‖‖(AB-1)‖≤‖A‖‖B‖‖A-1‖‖B-1‖ ＝Cond(A)Cond(B) 所以Cond(AB)≤Cond(A)Cond(B)成立。
(1)设非奇异矩阵A的特征值为λi(i＝1,2,…,n),则ρ(A)＝因为ρ(A)≤‖A‖,ρ(A-1)≤‖A-1‖,所以Cond(A)＝‖A‖‖A-1‖≥ρ(A)ρ(A-1)＝≥1即Cond(A)≥1成立。(2)因为Cond(AB)＝‖AB‖‖(AB-1)‖≤‖A‖‖B‖‖A-1‖‖B-1‖＝Cond(A)Cond(B)所以Cond(AB)≤Cond(A)Cond(B)成立。
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