证明:与所有n级矩阵可交换的矩阵一定是 z级数量矩阵.请帮忙给出正确答案和分析 谢谢!
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参考解答
正确答案:设n阶方阵E。是第i行第j列交叉位置上的元素是1其余元素全是0的方阵因为A与任意n阶方阵可交换则A与Eij也可交换即AEij=EijA所以由此又得a1i=…ai-11=ai+1i…=ani=0aj1…ajj+1=…ajn=0aii=ajj即当k≠i时akj=0;当k≠j时akj=0且aii=ajj.即A为数量方阵.
设n阶方阵E。是第i行第j列交叉位置上的元素是1,其余元素全是0的方阵因为A与任意n阶方阵可交换,则A与Eij也可交换即AEij=EijA所以由此又得a1i=…ai-1,1=ai+1,i…=ani=0,aj1…aj,j+1=…ajn=0,aii=ajj即当k≠i时akj=0;当k≠j时akj=0,且aii=ajj.即A为数量方阵.
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