设α1 ……αr线性无关 并且β1=α11α1+…+α1rαr βr=αr1α1+…+αrrαr 证

大学本科 已帮助: 时间:2024-11-13 20:45:53

设α1,……αr线性无关,并且β1=α11α1+…+α1rαr,βr=αr1α1+…+αrrαr,证明:β1,…,βr线性无关的充分必要条件是

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难度:⭐⭐⭐

题库:大学本科,理学,数学类

标签:必要条件,线性,正确答案

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406***101

2024-11-13 20:45:53

正确答案:设k1β1+k2β2+…+krβr=0或则有(k1α1+k2α21+…+k2α211+(k1α12+k2α22+…+krαr22+…(k1α1r+k2α2r+…+krαrrr=0因为α1α2……αr线性无关.所以有①充分性:若β1β2……βr线性无关则k1k2……kr全为零从而上述方程组只有零解即②必要性:若则方程组只有零解即k1β1+k2β2+…+krβr=0只有当k1k2……kr时才成立.从而有β1β2……βr线性无关成立.综上所述原命题成立. 证毕
设存在一组k1,k2,……,kr使得k1β1+k2β2+…+krβr=0,根据给出条件求解k1,k2,……,kr,从而判断线性无关。

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