设α1 ……αr线性无关 并且β1=α11α1+…+α1rαr βr=αr1α1+…+αrrαr 证
设α1,……αr线性无关,并且β1=α11α1+…+α1rαr,βr=αr1α1+…+αrrαr,证明:β1,…,βr线性无关的充分必要条件是
请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!
参考解答
正确答案:设k1β1+k2β2+…+krβr=0或则有(k1α1+k2α21+…+k2α21)α1+(k1α12+k2α22+…+krαr2)α2+…(k1α1r+k2α2r+…+krαrr)αr=0因为α1α2……αr线性无关.所以有
①充分性:若β1β2……βr线性无关则k1k2……kr全为零从而上述方程组只有零解即
②必要性:若
则方程组只有零解即k1β1+k2β2+…+krβr=0只有当k1k2……kr时才成立.从而有β1β2……βr线性无关成立.综上所述原命题成立. 证毕
设存在一组k1,k2,……,kr使得k1β1+k2β2+…+krβr=0,根据给出条件求解k1,k2,……,kr,从而判断线性无关。
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