设U是Kn的一个r维子空间α1 α2……αr是U中r个向量．证明：如果U中每一个向量都可以由α1 α

正确答案：设ε₁ε₂…ε_n是Kⁿ的一个基则α₁α₂……α_n可以由ε₁ε₂…ε_n线性表示因为ε_i∈Kⁿ(i=12…n)故由题设条件可知ε(i=12…n)亦可由α₁α₂……α_n线性表示所以ε₁ε₂…ε_n与α₁α₂……α_n等价具有相同的秩故α₁α₂……α_n的秩亦为n即α₁α₂……α_n线性无关．由题设条件任一向量β均可以由α₁α₂……α_n线性表示满足了需证明的两个结论所以α₁α₂……α_n是Kⁿ的一个基．
设ε1,ε2,…,εn,是Kn的一个基,则α1,α2……αn可以由ε1,ε2,…,εn线性表示,因为εi∈Kn(i=1,2,…,n),故由题设条件可知ε(i=1,2,…,n),亦可由α1,α2……αn线性表示,所以ε1,ε2,…,εn与α1,α2……αn等价,具有相同的秩,故α1,α2……αn的秩亦为n,即α1,α2……αn线性无关．由题设条件任一向量β均可以由α1,α2……αn线性表示,满足了需证明的两个结论,所以α1,α2……αn是Kn的一个基．