求下列矩阵A的列空间的一个基和行空间的维数：证明：矩阵的任意一个子矩阵的秩不会超过这个矩阵的证明：矩

正确答案：设矩阵A=(α₁α₂……α_m)任取A的一个矩阵B如：设矩阵R(B)=rR(A)=r_A由于R(B)=r故B中有r个向量线性无关不妨设为β_i1β_i2……β_ir．实际上这r个向量是α₁α₂……α_m中相应的r个向量α_j1α_j2…α_jr去掉若干个分量后得到的向量即α_j1α_j2…α_jr是β₁β₂…β_ir的延伸组从而α_j1α_j2…α_jr亦线性无关．又因为秩α_j1α_j2……α_jr≤秩(α₁α₂……α_m)即r≤r_A．
设矩阵A=(α1,α2……αm),任取A的一个矩阵B如：设矩阵R(B)=r,R(A)=rA,由于R(B)=r,故B中有r个向量线性无关,不妨设为βi1βi2……βir．实际上这r个向量是α1,α2……αm中相应的r个向量αj1,αj2,…,αjr去掉若干个分量后得到的向量,即αj1,αj2,…,αjr,是β1,β2,…,βir的延伸组,从而αj1,αj2,…,αjr,亦线性无关．又因为秩αj1,αj2……αjr,≤秩(α1,α2……αm),即r≤rA．