已知两向量组有相同的秩 且其中之一可被另一个线性表出 证明：这两个向量组等价．请帮忙给出正确答案和分

正确答案：设向量组(I)：α₁…α_s与(Ⅱ)：β₁…β_i的秩同为r且α₁…α_s可由β₁…β_t线性表出．下证β₁…β_t可由α₁…α_s线性表出从而(I)与(Ⅱ)等价．记(I)及(Ⅱ)的极大线性无关组分别为α_i1…α_i即β_ij…β_jr由于α₁…α_s可由β₁…β_s线性表出那么α₁…α_s也可由β_j1…β_jr线性表出α_i1…α_ir可由β_j1…β_jr线性表出．从而向量组(Ⅲ)：α_i1…α_irβ_j1…β_jr可由β_j1…β_jr线性表出所以rank(Ⅲ)≤rank{β_j1…β_jr)=r再由(Ⅲ)中有r个线性无关的向量α_i1…α_ir知rank(Ⅲ)≥r故rank(Ⅲ)=r．那么(Ⅲ)中任意r个线性无关的向量都是(Ⅲ)的极大线性无关组如α_i1…α_ir是(Ⅲ)的一个极大线性无关组从而β_j1…β_jr可由α_i1…α_ir线性表出于是β₁…β_t可由α_i1…α_ir线性表出也可由α₁…α_s线性表出．因此(I)与(Ⅱ)等价．
设向量组(I)：α1,…,αs与(Ⅱ)：β1,…,βi的秩同为r,且α1,…,αs可由β1,…,βt线性表出．下证β1,…,βt可由α1,…,αs线性表出,从而(I)与(Ⅱ)等价．记(I)及(Ⅱ)的极大线性无关组分别为αi1…,αi,即βij…,βjr,由于α1,…,αs可由β1,…,βs线性表出,那么α1,…,αs也可由βj1,…,βjr,线性表出,αi1…,αir,可由βj1,…,βjr线性表出．从而,向量组(Ⅲ)：αi1,…,αir,βj1,…,βjr,可由βj1,…,βjr,线性表出,所以rank(Ⅲ)≤rank{βj1,…,βjr)=r,再由(Ⅲ)中有r个线性无关的向量αi1…αir知,rank(Ⅲ)≥r,故rank(Ⅲ)=r．那么,(Ⅲ)中任意r个线性无关的向量都是(Ⅲ)的极大线性无关组,如αi1…,αir是(Ⅲ)的一个极大线性无关组,从而,βj1…,βjr,可由αi1…,αir线性表出,于是β1,…βt可由αi1…,αir,线性表出,也可由α1,…,αs线性表出．因此(I)与(Ⅱ)等价．