证明:方阵A与A有相同的特征多项式 从而它们有相同的特征值.对于系数属于K的一元多项式f(x)=a

大学本科 已帮助: 时间:2024-11-13 21:35:56

证明:方阵A与A有相同的特征多项式,从而它们有相同的特征值.对于系数属于K的一元多项式f(x)=a0
对于系数属于K的一元多项式f(x)=a0+a1x+…+amxm,有f(λ0)是矩阵f(A)=a0+a1A+…+amAm的一个特征值.
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难度:⭐⭐⭐

题库:大学本科,理学,数学类

标签:特征值,多项式,系数

参考解答

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456***101

2024-11-13 21:35:56

正确答案:因f(A)=α0I+αA+…+αmAmλ0是K上的一个n级矩阵A的一个特征值则Aα=Aλ0α.对任意m(正整数)有 Am0mα且有kAmα=k(λ0mα)即(kAm)a=kλ0mα.f(A)α=(α0I+α1A+…+αmAm)α=α0I+α1Aα+…+αmAmα=α0α+α1λα+…+αmλ0mα一=(α01λ0+…+αmλ0m)α=F(λ0)α根据定义可知f(λ0)是f(A)的一个特征值.
因f(A)=α0I+αA+…+αmAm,λ0是K上的一个n级矩阵A的一个特征值,则Aα=Aλ0α.对任意m(正整数)有Am=λ0mα,且有kAmα=k(λ0mα),即(kAm)a=kλ0mα.f(A)α=(α0I+α1A+…+αmAm)α=α0I+α1Aα+…+αmAmα=α0α+α1λα+…+αmλ0mα一=(α0+α1λ0+…+αmλ0m)α=F(λ0)α根据定义可知f(λ0)是f(A)的一个特征值.

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