证明：方阵A与A有相同的特征多项式 从而它们有相同的特征值．对于系数属于K的一元多项式f(x)=a

正确答案：因f(A)=α₀I+α_A+…+α_mA^mλ₀是K上的一个n级矩阵A的一个特征值则Aα=Aλ₀α．对任意m(正整数)有 A^m=λ₀^mα且有kA^mα=k(λ₀^mα)即(kA^m)a=kλ₀^mα．f(A)α=(α₀I+α₁A+…+α_mA^m)α=α₀I+α₁Aα+…+α_mA^mα=α₀α+α₁λα+…+α_mλ₀^mα一=(α₀+α₁λ₀+…+α_mλ₀^m)α=F(λ₀)α根据定义可知f(λ₀)是f(A)的一个特征值．
因f(A)=α0I+αA+…+αmAm,λ0是K上的一个n级矩阵A的一个特征值,则Aα=Aλ0α．对任意m(正整数)有Am=λ0mα,且有kAmα=k(λ0mα),即(kAm)a=kλ0mα．f(A)α=(α0I+α1A+…+αmAm)α=α0I+α1Aα+…+αmAmα=α0α+α1λα+…+αmλ0mα一=(α0+α1λ0+…+αmλ0m)α=F(λ0)α根据定义可知f(λ0)是f(A)的一个特征值．