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在R3中，证明：(1)曲面上的直线是曲面的渐近曲线；(2)可展曲面的渐近曲线(除脊线外)就是它的直母线；(3)若连通曲面上每一点处均有落在曲面上的三条不同直线相交，则此曲面必为平面片．
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参考解答
456***102
2024-11-17 04:07:00
正确答案：(1)证法1 参阅定理2．4．4的证明．证法2根据定义2．5．1及k=0(直线)有0=0?V2(s)=k(s).k(s)=τ+kn(s)n因此
即直线为渐近曲线．(2)直纹面可展
再根据(1)直母线为可展曲面上唯一的渐近线． (3)设在曲面的每一点均有曲面的三条不同的直线根据(1)它们为曲面的三条不同的渐近曲线即2次方程Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0有三个不同的解．此时只能是L=M=N=0．由注2．6．1知
即k1=k2=0．根据定义2．5．3曲面上的点全为圆点(当然全为脐点)．再根据引理3．1．4(1)立知该连通曲面为平面片．
(1)证法1参阅定理2．4．4的证明．证法2根据定义2．5．1及k=0(直线),有0=0?V2(s)=k(s).k(s)=τ+kn(s)n,因此即直线为渐近曲线．(2)直纹面可展再根据(1),直母线为可展曲面上唯一的渐近线．(3)设在曲面的每一点均有曲面的三条不同的直线,根据(1),它们为曲面的三条不同的渐近曲线,即2次方程Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0有三个不同的解．此时,只能是L=M=N=0．由注2．6．1,知即k1=k2=0．根据定义2．5．3,曲面上的点全为圆点(当然,全为脐点)．再根据引理3．1．4(1),立知该连通曲面为平面片．
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