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设f(x)为Rn上的一个Cr函数(r≥1)，M={x∈Rn｜f(x)=0}≠∮，且对圆柱面M：x2＋y2=R2是可定向的．
圆柱面M：x2+y2=R2是可定向的．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
4j8***102
2024-11-17 04:07:25
正确答案：×
证法1因F(x,y,z)=x2+y2一R2=0,(Fx',Fy',Fz')=(2x,2y,0)为柱面的法向,而为圆柱面的连续单位法向量场,根据引理3．1．1或习题3．1．1,圆柱面x2+y2=R2是可定向的．证法2设圆柱面x2+y2=R2的参数表示为x(θ,z)=(Rcosθ,Rsinθ,z),则单位法向量注意,参数θ只有资格作局部坐标,而不能作为整体坐标,但显然n=(cosθ,sinθ,0)为圆柱面上整体连续的单位法向量场,根据引理3．1．1或习题3．1．1,圆柱面是可定向的．证法3将圆柱面用两个局部坐标系(U1,φ1)与(U2,φ2)覆盖：φ1：U1=(0,2π)×(一∞,+∞)→M,φ2：U2=(一π,π)×(一∞,+∞)→M,其中根据定义3．1．2,圆柱面M是可定向的．证法4虽然θ只是局部坐标,不是整体坐标,但dθ∧dz是整个圆柱面M上的处处非零的C∞2形式,根据习题3．1．3注(2)知,圆柱面M是可定向的．
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