证明：(1)如果曲线既是测地线又是渐近线 则它为直线段；(2)如果k>0的曲线既是测地线又是曲率线

正确答案：(1)因为所以曲线既是测地线又是渐近线(2)由于k>0的曲线为测地线再由定理2．8．4(4)有n=±V₂．又因它是曲率线故法线曲面可展即主法线曲面可展(定理2．5．4(3))．从而(sv)=x(s)+vV₂(s)可展等价于(定理2．2．1)0=(x^'(s)V₂(s)V₂^'(s))=(V₁(s)V₂(s)一k(s)V₁(s)+τ(s)V₃(s))=(V₁(s)V₂(s)τ(s)V₃(s))=τ(s)(V₁(s)V₂(s)V₃(s))=τ(s)．根据定理1．2．2该曲线为平面曲线．(3)取这两族测地线为坐标曲线(参阅引理2．6．1)．Liouville公式为由于θ=0为测地线故得由于θ=const(定角)为测地线故得于是对于测地线有特别取它是第1族测地线(u线)的正交轨线也是测地线．因此如果将θ=代替第2族测地线仍记为v线有I=E(u)du²+G(v)dv²．作变换则有它表明曲面可与平面等距曲面是可展的．
(1)因为所以曲线既是测地线又是渐近线(2)由于k>0的曲线为测地线,再由定理2．8．4(4),有n=±V2．又因它是曲率线,故法线曲面可展,即主法线曲面可展(定理2．5．4(3))．从而(s,v)=x(s)+vV2(s)可展等价于(定理2．2．1)0=(x'(s),V2(s),V2'(s))=(V1(s),V2(s),一k(s)V1(s)+τ(s)V3(s))=(V1(s),V2(s),τ(s)V3(s))=τ(s)(V1(s),V2(s),V3(s))=τ(s)．根据定理1．2．2,该曲线为平面曲线．(3)取这两族测地线为坐标曲线(参阅引理2．6．1)．Liouville公式为由于θ=0为测地线,故得由于θ=const(定角)为测地线,故得于是对于测地线,有特别取,它是第1族测地线(u线)的正交轨线,也是测地线．因此,如果将θ=代替第2族测地线,仍记为v线,有I=E(u)du2+G(v)dv2．作变换则有它表明曲面可与平面等距,曲面是可展的．