如果一条k(s)>0的曲线x(s)(s∈(α β为弧长)的所有法平面都包含非零的常向量e 则这条曲线

正确答案：由题设知e.V₁(s)=0．对此式两边关于S求导得x(s)e.V₂(s)=e.V₁(s)=[e.V₁^'(s)^'=0^'=0．由于g(s)>0故e.V₂(s)=0．再对此式两边关于s求导得0=[e.V₂(s)^'=e.[一g(s)V₁(s)+r(s)V₃(s)=τ(s)e.V₃(s)．(反证)假设∈(ββ)使得r(s₀)≠0则e.V₃(s)=0从而e.V₁(s₀)=e.V₂(s₀)=e.V₃(s₀)=0．根据习题1．3．6的证明知e=0这与题设e为非零向量相矛盾．这就证明了r(s)≡0V s∈(αβ)．根据定理1．2．2x(s)(α＜s＜β)为平面曲线．
由题设知e.V1(s)=0．对此式两边关于S求导,得x(s)e.V2(s)=e.V1(s)=[e.V1'(s)'=0'=0．由于g(s)>0,故e.V2(s)=0．再对此式两边关于s求导,得0=[e.V2(s)'=e.[一g(s)V1(s)+r(s)V3(s)=τ(s)e.V3(s)．(反证)假设∈(β,β),使得r(s0)≠0,则e.V3(s)=0,从而e.V1(s0)=e.V2(s0)=e.V3(s0)=0．根据习题1．3．6的证明,知e=0,这与题设e为非零向量相矛盾．这就证明了r(s)≡0,Vs∈(α,β)．根据定理1．2．2,x(s)(α＜s＜β)为平面曲线．