R3中k≠0 τ≠0的C4连通曲线x(s)为球面曲线等价于其中s为弧长参数．请帮忙给出正确答案和分析

正确答案：(→)因为x(s)为球面S²上的曲线所以[x(s)一y₀²一r² (r为正的常数)．两边关于s求导得V₁(s).[x(s)一y₀=0．从而x(s)一y₀在点x(s)的法平面上．设x(s)一y₀=λ(s)V₂(s)+μ(s)V₃(s)．两边再对s求导得V₁=λ(-kV+τV)+λ^'V₂+μ(-τV₃)+μ^'V₃=一λμV₁+(λ^'一μτ)V₂+(λτ+μ^')V₃．因为V₁V₂V₃线性无关所以于是因此根据注1．3．1知密切球面中心为固定向量．对上式关于s求导得到它等价于(←)设记连通曲线x(s)点处的密切球面中心为则积分得y(s)=y₀(固定向量)．设密切球面半径的平方为由此推得r²为常数．从而曲线x(s)在球面(X—y₂)²=r²上即x(s)为球面曲线．
(→)因为x(s)为球面S2上的曲线,所以[x(s)一y02一r2(r为正的常数)．两边关于s求导,得V1(s).[x(s)一y0=0．从而x(s)一y0在点x(s)的法平面上．设x(s)一y0=λ(s)V2(s)+μ(s)V3(s)．两边再对s求导,得V1=λ(-kV+τV)+λ'V2+μ(-τV3)+μ'V3=一λμV1+(λ'一μτ)V2+(λτ+μ')V3．因为V1,V2,V3线性无关,所以于是因此根据注1．3．1知,密切球面中心为固定向量．对上式关于s求导,得到它等价于(←)设记连通曲线x(s)点处的密切球面中心为则积分得y(s)=y0(固定向量)．设密切球面半径的平方为由此推得r2为常数．从而曲线x(s)在球面(X—y2)2=r2上,即x(s)为球面曲线．