我们知道 平面曲线x(t)的曲率中心的轨迹y(t)称为x(t)的渐缩线 x(t)称为y(t)的一条渐

正确答案：设n(t)=cosθV₂(t)+sinθV₃(t)为点x(t)处的法向量其中θ=∠(nV₂)为n(t)与V₂(t)的夹角称直线y(t)=x(t)+λn(t) (λ∈R)为该曲线在点x(t)处的法线．显然主法线(θ=0)与从法线都是曲线在x(t)处的法线．定义 如果曲线y(t)的切线是曲线x(t)的法线则称x(t)为y(t)的渐伸线；而y(t)为x(t)的渐缩线．定理1设y(t)(a≤t≤b)为空间R³中的曲线则y(t)的渐伸线为 其中c为常数分别为y(t)的弧长与单位切向量及曲率．c取不同的值就得到不同的渐伸线(由此得到空间曲线与平面曲线的渐伸线在形式上是相同的并都有无数条)．证明设y(t)的渐伸线为两边点乘并注意到y(t)的切线是渐伸线x(t)的法线所以λ^'(t)+｜y^'(t)｜=0．积分得因此y(t)的渐伸线为定理2给定空间R³中的曲线x(t)(a≤t≤b)则x(t)的渐缩线为其中k(t)V₂(t)V₃(t)分别为x(t)的曲率主法向量从法向量；而θ₀=θ(t₀)是任意常数θ₀取不同的值就得到不同的渐缩线．证明设x(t)的渐缩线为y(λ)=x(t)+λ(t)n(t)其中n(t)=cosθ(t).V₂(t)+sinθ(t)V₃(t) θ(t)=∠(n(t)V₂(t))．因为根据定理2．2．2y(t)的切线面(除脊线外)可展．又因为y(t)为x(t)的渐缩线故y(t)的切线是x(t)的法线从而y(t)的切线面就是x(t)的法线面它是可展曲面．再根据定理2．2．1有因为y(t)为x(t)的渐缩线所以y(t)的切向量就是x(t)的法向量．于是上式两边点乘V₁(t)得到0=1一λ(t)λ(t)cosθ(t)即此外从前式知cosθ(t)≠0且x(t)的渐缩线为
设n(t)=cosθV2(t)+sinθV3(t)为点x(t)处的法向量,其中θ=∠(n,V2)为n(t)与V2(t)的夹角,称直线y(t)=x(t)+λn(t)(λ∈R)为该曲线在点x(t)处的法线．显然,主法线(θ=0)与从法线都是曲线在x(t)处的法线．定义如果曲线y(t)的切线是曲线x(t)的法线,则称x(t)为y(t)的渐伸线；而y(t)为x(t)的渐缩线．定理1设y(t)(a≤t≤b)为空间R3中的曲线,则y(t)的渐伸线为,其中c为常数,分别为y(t)的弧长与单位切向量及曲率．c取不同的值就得到不同的渐伸线(由此得到空间曲线与平面曲线的渐伸线在形式上是相同的,并都有无数条)．证明设y(t)的渐伸线为,两边点乘并注意到y(t)的切线是渐伸线x(t)的法线,所以λ'(t)+｜y'(t)｜=0．积分得因此,y(t)的渐伸线为定理2给定空间R3中的曲线x(t)(a≤t≤b),则x(t)的渐缩线为其中k(t),V2(t),V3(t)分别为x(t)的曲率,主法向量,从法向量；而θ0=θ(t0)是任意常数,θ0取不同的值就得到不同的渐缩线．证明设x(t)的渐缩线为y(λ)=x(t)+λ(t)n(t),其中n(t)=cosθ(t).V2(t)+sinθ(t)V3(t),θ(t)=∠(n(t),V2(t))．因为根据定理2．2．2,y(t)的切线面(除脊线外)可展．又因为y(t)为x(t)的渐缩线,故y(t)的切线是x(t)的法线,从而y(t)的切线面就是x(t)的法线面,它是可展曲面．再根据定理2．2．1,有因为y(t)为x(t)的渐缩线,所以y(t)的切向量就是x(t)的法向量．于是,上式两边点乘V1(t),得到0=1一λ(t)λ(t)cosθ(t),即此外,从前式知cosθ(t)≠0,且x(t)的渐缩线为