设D是周线C的内部 函数f(2)在区域D内解析 在闭域D=D+C上连续 其模｜f(z)｜在C上为常数
设D是周线C的内部，函数f(2)在区域D内解析，在闭域D=D+C上连续，其模｜f(z)｜在C上为常数．试证：若f(z)不恒等于一个常数，则f(z)在D内至少有一个零点．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
420***103
2024-11-21 14:42:32
正确答案：(反证法)设f(z)在D内处处不为零则由最小最大模原理在D内｜f(z)｜即不能达到最小值也不能达到最大值． 而题设｜f(z)｜在闭域
上有最大值M和最小值m而由上所述这些都只能在边界C上达到但题设｜f(z)｜在C上为常数． 故 M=｜f(z)｜=m(z∈C)． (1) 再由最大最小模原理M＜｜f(z)｜＜M=m(z∈D) 即 ｜f(z)｜=m (z∈D) (2) 由(1)、(2)｜f(z)｜在
上恒为常数mf(z)在D内必为常数矛盾．
(反证法)设f(z)在D内处处不为零,则由最小,最大模原理,在D内｜f(z)｜即不能达到最小值,也不能达到最大值．而题设｜f(z)｜在闭域上有最大值M和最小值m,而由上所述,这些都只能在边界C上达到,但题设｜f(z)｜在C上为常数．故M=｜f(z)｜=m(z∈C)．(1)再由最大,最小模原理,M＜｜f(z)｜＜M=m(z∈D)即｜f(z)｜=m(z∈D)(2)由(1)、(2),｜f(z)｜在上恒为常数m,f(z)在D内必为常数,矛盾．
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