用幂法计算矩阵设方阵A的特征值均为实数 且满足λ1＞λ2≥λ3…≥λn证明取平移量p＝(λ2＋λn)

正确答案：设平移量为P则B＝A－pI的特征值为μ_i(λ_i－P)(i＝12…n)。 设e_i(00……00)^T(i＝12…n)则对B使用幂法有 u^(k)＝(λ₁－p)^k[α₁e₁＋α_ne_n 要使上式收敛速度最快即选择适当的P使 达到极小也就是使极小。 对于固定P来说(λ₁－P)²是定值那么在(λ₂－P)²(λ₃－P)²…(λ_n－p)²中易知： 所以当p≥(λ₁＋λ_n)时 也就是在p＝(λ₂＋λ_n)处达到极小。 当p≤(λ₂＋λ_n)时 也是在p＝(λ₂＋λ_n)达到极小。总而言之当p＝(λ₂＋λ_n)时收敛速度最快。
设平移量为P,则B＝A－pI的特征值为μi(λi－P)(i＝1,2,…,n)。设ei(0,0,…,,…,0,0)T(i＝1,2,…,n),则对B使用幂法有u(k)＝(λ1－p)k[α1e1＋αnen要使上式收敛速度最快,即选择适当的P,使达到极小,也就是使极小。对于固定P来说,(λ1－P)2是定值,那么在(λ2－P)2,(λ3－P)2,…,(λn－p)2中,易知：所以当p≥(λ1＋λn)时,也就是在p＝(λ2＋λn)处达到极小。当p≤(λ2＋λn)时,也是在p＝(λ2＋λn)达到极小。总而言之,当p＝(λ2＋λn)时收敛速度最快。