设f(χ)∈Cn+1[a b] χi∈[a b](i＝1 2 … n)为n个互异节点 且f(χ1)＝

正确答案：设p(χ)＝a₀＋a₁χ＋a₂χ²＋…＋a_n-1χ^n-1＋a_nχⁿ则 p′(χ)＝a₁＋2a₂χ＋…＋(n－1)a_n-1χ^n-2＋ 由假设p′(χ_i)＝f′(χ_i)＝0 i＝12…n 得线性方程组 a₁＋2χ_ia₂＋…＋(n－1)χ_i^n-2＋nχ_i^n-1a_n＝0 (i＝12…n) 其系数行列式为 这里V(χ₁χ₂…χ_n)是Vandermonde行列式因为χ_i(i＝12…n)互异所以V(χ₁χ₂…χ_n)≠0因此方程组有唯一解且 a₁＝a₂＝…＝a_n＝0 再由P(χ₁)＝f(χ₁)得a＝1故有p(χ)＝1。 令R(χ)＝f(χ)－p(χ)由题意 R′(χ)＝f′(χ)＝k(χ)ω(χ) 其中k(χ)为待定函数ω(χ)＝(χ－χ₁)(χ－χ₂)…(χ－χ_n)。作辅助函数 F(χ)＝f′(t)－k(χ)ω(t) 则χχ₁χ₂…χ_n是F(t)的零点反复运用Rolle定理至少存在一点ξ∈(ab)使得 F(ξ)＝f(ξ)－k(χ)n!＝0 所以k(χ)＝ξ∈(ab) 因此 所以有｜f(χ)－p(χ)｜≤(b－a)ⁿ⁺¹ξ∈(ab)成立。
设p(χ)＝a0＋a1χ＋a2χ2＋…＋an-1χn-1＋anχn则p′(χ)＝a1＋2a2χ＋…＋(n－1)an-1χn-2＋由假设p′(χi)＝f′(χi)＝0i＝1,2,…,n得线性方程组a1＋2χia2＋…＋(n－1)χin-2＋nχin-1an＝0(i＝1,2,…,n)其系数行列式为这里V(χ1,χ2,…,χn)是Vandermonde行列式,因为χi(i＝1,2,…,n)互异,所以V(χ1,χ2,…,χn)≠0,因此方程组有唯一解,且a1＝a2＝…＝an＝0再由P(χ1)＝f(χ1)得a＝1,故有p(χ)＝1。令R(χ)＝f(χ)－p(χ),由题意R′(χ)＝f′(χ)＝k(χ)ω(χ)其中k(χ)为待定函数,ω(χ)＝(χ－χ1)(χ－χ2)…(χ－χn)。作辅助函数F(χ)＝f′(t)－k(χ)ω(t)则χ,χ1,χ2,…,χn是F(t)的零点,反复运用Rolle定理,至少存在一点ξ∈(a,b)使得F(ξ)＝f(ξ)－k(χ)n!＝0所以k(χ)＝,ξ∈(a,b)因此所以有｜f(χ)－p(χ)｜≤(b－a)n+1,ξ∈(a,b)成立。