试判定下列函数 哪些是单值函数?哪些是多值函数? 求把图中上半z平面(a)变成w平面上区域(b)(除

正确答案：根据克利斯托费尔一施瓦茨公式所求变换为 w=k∫(z+1)^2-1(z一0)^0-1dz+C =k∫(1+)dz+C 即 w=k(z+ln z)+C ① 为了确定常数k与C把上式改写成 u+iv=(k₁+ik₂)(x+iy+ln｜z｜+iarg z)+C₁+iC₂ 比较两端虚部得 v=k₁y+k₂x+k₂ln｜z｜+k₁argz+C₂ ② 当w沿AB趋于∞时v=π这时z沿实轴从一1趋于零于是y=0arg z=π所以由②式得 π=(k．0+k₂x+k₂ln｜z｜+k₁π+C₂) 显然为了使上式右端有限k₂必须为零故 π=k₁π+C₂ ③ 又当w沿OB趋于无穷时v=0．这时z沿正实轴趋于零．即y=0arg z=0．所以由②得 0=(k₁．0+C₂)=C₂ ④ ④代入③得k₁=1从而k=k₁+ik₂=1 ④、⑤代入①得 w=z+ln z+C₁ ⑤ 最后当w=πi时z=一1．从上式得πi=一1+πi+C₁所以C₁=1因此保形变换为w=z+ln z+1．
根据克利斯托费尔一施瓦茨公式,所求变换为w=k∫(z+1)2-1(z一0)0-1dz+C=k∫(1+)dz+C即w=k(z+lnz)+C①为了确定常数k与C,把上式改写成u+iv=(k1+ik2)(x+iy+ln｜z｜+iargz)+C1+iC2比较两端虚部得v=k1y+k2x+k2ln｜z｜+k1argz+C2②当w沿AB趋于∞时,v=π,这时z沿实轴从一1趋于零,于是y=0,argz=π,所以由②式得π=(k．0+k2x+k2ln｜z｜+k1π+C2)显然,为了使上式右端有限,k2必须为零,故π=k1π+C2③又当w沿OB趋于无穷时,v=0．这时z沿正实轴趋于零．即y=0,argz=0．所以由②得0=(k1．0+C2)=C2④④代入③得k1=1,从而k=k1+ik2=1④、⑤代入①得w=z+lnz+C1⑤最后,当w=πi时,z=一1．从上式得πi=一1+πi+C1,所以C1=1,因此,保形变换为w=z+lnz+1．