如果秩为r的向量组可以由它的r个向量线性表出 则这r个向量构成这向量组的一个极大线性无关组．请帮忙给

正确答案：设α₁α₂……α_r是向量组的一个极大线性无关组β₁β₂……β_r是向量组中的向量且向量组中的任一向量均可由β₁β₂……β_r线性表示即α₁α₂……α_r可由β₁β₂……β_r线性表示．又因为α₁α₂……α_r是向量组的一极大线性无关组故β₁β₂……β_r亦可由α₁α₂……α_r线性表示即α₁α₂……α_r与β₁β₂……β_r等价．由于等价的向量组具有相同的秩故β₁β₂……β_r的秩亦为r从而β₁β₂……β_r线性无关即β₁β₂……β_r构成了向量组的一个极大线性无关组．
设α1,α2……αr是向量组的一个极大线性无关组,β1β2……βr是向量组中的向量,且向量组中的任一向量均可由β1β2……βr线性表示,即α1,α2……αr可由β1β2……βr线性表示．又因为α1,α2……αr是向量组的一极大线性无关组,故β1β2……βr亦可由α1,α2……αr线性表示,即α1,α2……αr与β1β2……βr等价．由于等价的向量组具有相同的秩,故β1β2……βr的秩亦为r,从而β1β2……βr线性无关,即β1β2……βr构成了向量组的一个极大线性无关组．