如果秩为r的向量组可以由它的r个向量线性表出 则这r个向量构成这向量组的一个极大线性无关组.请帮忙给

大学本科 已帮助: 时间:2024-11-13 22:22:55

如果秩为r的向量组可以由它的r个向量线性表出,则这r个向量构成这向量组的一个极大线性无关组.
请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!

难度:⭐⭐⭐

题库:大学本科,理学,数学类

标签:它的,向量,线性

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490***101

2024-11-13 22:22:55

正确答案:设α1α2……αr是向量组的一个极大线性无关组β1β2……βr是向量组中的向量且向量组中的任一向量均可由β1β2……βr线性表示即α1α2……αr可由β1β2……βr线性表示.又因为α1α2……αr是向量组的一极大线性无关组故β1β2……βr亦可由α1α2……αr线性表示即α1α2……αr与β1β2……βr等价.由于等价的向量组具有相同的秩故β1β2……βr的秩亦为r从而β1β2……βr线性无关即β1β2……βr构成了向量组的一个极大线性无关组.
设α1,α2……αr是向量组的一个极大线性无关组,β1β2……βr是向量组中的向量,且向量组中的任一向量均可由β1β2……βr线性表示,即α1,α2……αr可由β1β2……βr线性表示.又因为α1,α2……αr是向量组的一极大线性无关组,故β1β2……βr亦可由α1,α2……αr线性表示,即α1,α2……αr与β1β2……βr等价.由于等价的向量组具有相同的秩,故β1β2……βr的秩亦为r,从而β1β2……βr线性无关,即β1β2……βr构成了向量组的一个极大线性无关组.

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