如果向量组α1 α2……αs与向量组α1 α2……αs β有相同的秩 则β可以由α1 α2……αs线

正确答案：设rank(α₁α₂……α_s)=rα_i1α_i2……α_ir为α₁α₂……α_s的一个极大无关组．由于rank(α₁α₂……α_sβ)=rank(α₁α₂……α_s)所以rank(α₁α₂……α_sβ)=r从而α_i1α_i2……α_ir亦为α₁α₂……α_sβ的一个极大无关组即α₁α₂……α_sβ线性相关．从而存在不全为零的数k₁k₂…k_r使得β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_ir即β可由α₁α₂……α_s线性表示．
设rank(α1,α2……αs)=r,αi1,αi2……αir,为α1,α2……αs的一个极大无关组．由于rank(α1,α2……αs,β)=rank(α1,α2……αs),所以rank(α1,α2……αs,β)=r,从而αi1,αi2……αir亦为α1,α2……αs,β的一个极大无关组,即α1,α2……αs,β线性相关．从而存在不全为零的数k1,k2,…,kr,使得β=k1α1+k2α2+…+krαir,即β可由α1,α2……αs线性表示．