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从证明方程 cz－λ=z (λ＞1) 在单位圆｜z｜＜1内恰有一个根，且为实根． 证明：令f(z)=一z，φ(z)=e
证明方程 cz-λ=z (λ＞1) 在单位圆｜z｜＜1内恰有一个根，且为实根． 证明：令f(z)=一z，φ(z)=ez-λ，显然它们在｜z｜≤1上解析，在单位圆周｜z｜=1上，｜φ(z)｜=ez｜eπ≤e-λ＜1=｜—z｜=｜f(z)｜ 由儒歇定理知，在｜z｜＜1内，f(z)+φ(z)=ez-λ一z与f(z)=一z有相同的零点个数．又因F(x)=ex-λ一x连续于[0，1]，且F(0)=e-λ＞0，F(1)=e1-λ一1＜0．故ez-λ=z的根在(0，1)内．且为正实数．
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参考解答
473***103
2024-11-21 06:23:16
正确答案：令f(z)=一zφ(z)=ez-λ显然它们在｜z｜≤1上解析在单位圆周｜z｜=1上｜φ(z)｜=ez｜eπ≤e-λ＜1=｜—z｜=｜f(z)｜ 由儒歇定理知在｜z｜＜1内f(z)+φ(z)=ez-λ一z与f(z)=一z有相同的零点个数．又因F(x)=ex-λ一x连续于[01且F(0)=e-λ＞0F(1)=e1-λ一1＜0．故ez-λ=z的根在(01)内．且为正实数．
令f(z)=一z,φ(z)=ez-λ,显然它们在｜z｜≤1上解析,在单位圆周｜z｜=1上,｜φ(z)｜=ez｜eπ≤e-λ＜1=｜—z｜=｜f(z)｜由儒歇定理知,在｜z｜＜1内,f(z)+φ(z)=ez-λ一z与f(z)=一z有相同的零点个数．又因F(x)=ex-λ一x连续于[0,1,且F(0)=e-λ＞0,F(1)=e1-λ一1＜0．故ez-λ=z的根在(0,1)内．且为正实数．
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