将下列函数在指定环域内展为洛朗级数． 讨论下列函数的奇点类型(包含无穷远点)：讨论下列函数的奇点类型

正确答案：(1)易知函数f(z)除使分母为零的点z=0±1±2…外在｜z｜＜+∞内解析由于(sin πz)\=πcosπz在0±1±2…处均不为零因此这些点都是sin πz的一阶零点．从而是(sinπz)'的四阶零点所以这些点中除去03外(因03也是分子的零点)都是f(z)的四阶极点．因z=0是e^z一1的一阶零点从而是(e^z一1)³的三阶零点所以z=0是f(z)的一阶极点．至于z=3因为所以z=3是f(z)的可去奇点．关于z=∞因为f(z)的四阶极点±k(k=45…)以∞为极限(当k→∞时)所以∞不是f(z)的孤立奇点．综上所述函数f(z)有如下类型的奇点：0(1阶极点)3(可去奇点)±1±2一3±4±5…(均为4阶极点)∞(非孤立奇点)(2)容易求得z=kπ(k为整数)是cot z的一阶极点这是因为(sih z)'｜_z=kπ=coskπ=(一1)^k≠0当k=0时z=0而所以z=0是函数f(z)的可去奇点z_k=kπ(k为不等于零的整数)是f(z)的一阶极点．又z=∞是极点z_k当k→∞时的极限点不是孤立奇点．
(1)易知函数f(z)除使分母为零的点z=0,±1,±2,…外,在｜z｜＜+∞内解析,由于(sinπz)\=πcosπz在0,±1,±2,…处均不为零,因此这些点都是sinπz的一阶零点．从而是(sinπz)'的四阶零点,所以这些点中除去0,3外(因0,3也是分子的零点)都是f(z)的四阶极点．因z=0是ez一1的一阶零点,从而是(ez一1)3的三阶零点,所以z=0是f(z)的一阶极点．至于z=3,因为所以z=3是f(z)的可去奇点．关于z=∞,因为f(z)的四阶极点±k(k=4,5,…)以∞为极限(当k→∞时),所以∞不是f(z)的孤立奇点．综上所述,函数f(z)有如下类型的奇点：0(1阶极点),3(可去奇点),±1,±2,一3,±4,±5,…(均为4阶极点),∞(非孤立奇点)(2)容易求得z=kπ(k为整数)是cotz的一阶极点,这是因为(sihz)'｜z=kπ=coskπ=(一1)k≠0,当k=0时,z=0,而所以,z=0是函数f(z)的可去奇点,zk=kπ(k为不等于零的整数)是f(z)的一阶极点．又z=∞是极点zk当k→∞时的极限点,不是孤立奇点．