试证：若a为f(z)的单值性孤立奇点 则a为f(z)的m阶极点的充要条件是 试证：在扩充z平面上只有

正确答案：设z₀为f(z)在扩充复平面上仅有的一个一级极点． (i)当z₀≠∞在z₀的去心邻域内有f(z)=+c₀+c₀(z—z₀)+… (c_-1≠0) ①令g(z)=f(z)=则g(z)在扩充复平面除去z₀外解析。又由式①得在z₀的去心邻域内 g(z)=c₀+c₁(z—z₀)+c₂(z一z₀)²+…补充定义g(z₀)=c₀可知g(z)在z₀的邻域内解析所以g(z)在扩充复平面上处处解析等价地g(z)在复平面内处处解析而且当z=∞时g(z)也解析．由g(z)在无穷远点解析知存在等于g(∞)从而存在正数R与M₁当｜z｜＞R时｜g(z)｜≤M₁(在∞的邻域内有界)．又g(z)在｜z｜≤R上解析｜g(z)｜在｜z｜≤R上连续有界、即存在正数M₂使当｜z｜≤R时｜g(z)｜≤M₂所以｜g(z)｜在扩充复平面内是有界的：｜g(z)｜≤M=max{M₁M₂故由所给的刘维尔定理得g(z)≡c常数等价地在扩充复平面上 f(z)=g(z)+其中a=cb=c_-1一c=1d=一z₀oad一bc=一c_-1≠0(ii)当z₀=∞时f(z)在复平面内处处解析且以∞为一级极点于是在∞的去心邻域内f(z)=…++c₀+c₁z (c₁≠0) ②令g(z)=f(z)一c₁z则g(z)在复平面内处处解析且在∞的去心邻域内 g(z)=…++c₀补充定义g(∞)=c₀可知g(z)在∞的邻域内解析所以g(z)在扩充复平面上处处解析同上(i)可证：g(z)=c(常数)故在扩充复平面上f(z)=g(z)+c₁z=c+c₁z= 其中a=c₁b=cc=0d=1ad一bc=c₁≠0．
设z0为f(z)在扩充复平面上仅有的一个一级极点．(i)当z0≠∞,在z0的去心邻域内有f(z)=+c0+c0(z—z0)+…(c-1≠0)①令g(z)=f(z)=,则g(z)在扩充复平面除去z0外解析。又由式①得在z0的去心邻域内g(z)=c0+c1(z—z0)+c2(z一z0)2+…补充定义g(z0)=c0可知g(z)在z0的邻域内解析,所以g(z)在扩充复平面上处处解析,等价地g(z)在复平面内处处解析而且当z=∞时g(z)也解析．由g(z)在无穷远点解析知存在等于g(∞),从而存在正数R与M1,当｜z｜＞R时,｜g(z)｜≤M1(在∞的邻域内有界)．又g(z)在｜z｜≤R上解析,｜g(z)｜在｜z｜≤R上连续有界、即存在正数M2,使当｜z｜≤R时｜g(z)｜≤M2,所以｜g(z)｜在扩充复平面内是有界的：｜g(z)｜≤M=max{M1,M2,故由所给的刘维尔定理得g(z)≡c常数,等价地在扩充复平面上f(z)=g(z)+其中a=c,b=c-1一,c=1,d=一z0,o,ad一bc=一c-1≠0(ii)当z0=∞时,f(z)在复平面内处处解析且以∞为一级极点,于是在∞的去心邻域内f(z)=…++c0+c1z(c1≠0)②令g(z)=f(z)一c1z,则g(z)在复平面内处处解析,且在∞的去心邻域内g(z)=…++c0补充定义g(∞)=c0可知g(z)在∞的邻域内解析,所以g(z)在扩充复平面上处处解析,同上(i)可证：g(z)=c(常数),故在扩充复平面上f(z)=g(z)+c1z=c+c1z=其中a=c1,b=c,c=0,d=1,ad一bc=c1≠0．