考查函数 求在扩充z平面上只有n个一阶极点的解析函数的一般形式．求在扩充z平面上只有n个一阶极点的解

正确答案：有两种可能情形 1)f(z)有靠个一级极点且都不为零设为α₁α₂…α₃此时∞为f(z)的可去奇点。由定理5.4(2)写出f(z)=其中φ(z)在z平面上解析且不恒等于零因为z=∞此时不是f(z)的极点故φ(z)展式中z的最高次幂不能大于n即φ(z)=a₀+a₁z+…+a_nzⁿφ(α_k)≠0所以其中α_k互异且α_k(k=0L…n)至少有一个不为零． 2)∞为f(z)的一级极点若α_k(k=12…n)只有一个为∞把其余n一1个依次排列为α₁α₂…α_n-1利用定理5．4'(2)得 其中a_n≠0且当i≠j时za_i≠∞(1≤ij≤n一1)．
有两种可能情形1)f(z)有靠个一级极点,且都不为零,设为α1,α2,…,α3,此时∞为f(z)的可去奇点。由定理5.4(2)写出f(z)=,其中φ(z)在z平面上解析且不恒等于零,因为z=∞此时不是f(z)的极点,故φ(z)展式中,z的最高次幂不能大于n,即φ(z)=a0+a1z+…+anzn,φ(αk)≠0,所以其中αk互异,且αk(k=0,L,…,n)至少有一个不为零．2)∞为f(z)的一级极点,若αk(k=1,2,…,n)只有一个为∞,把其余n一1个依次排列为α1,α2,…,αn-1,利用定理5．4'(2)得其中an≠0,且当i≠j时z,ai≠∞(1≤i,j≤n一1)．