试求初值问题 设函数f(t x)在整个平面上都有定义 连续且有界 证明方程 的任一解均可延拓到整设函

正确答案：用反证法．若不然不妨设初值问题的解x=φ(t)向右只可以延拓到有限区间[t₀β)其中(t₀x₀)为平面上任一点．则由解的延拓定理当t→β时x=φ(t)无界．但另一方面由假设存在M＞0使得对任意的(tx)都有｜f(tx)｜≤M．从而都有一M≤φ'(t)≤M在该不等式中从t₀到t积分得 一M(t一t₀)≤φ(t)一φ(t₀)≤M(t—t₀)t∈[t₀β)．故都有｜φ(t)J≤｜φ(t₀)｜+M(β一t₀)这表明当t→β时x=φ(t)有界．这与当t→β时x=φ(t)无界矛盾因此原方程的任一解均可延拓到整个区间(一∞+∞)．
用反证法．若不然,不妨设初值问题的解x=φ(t)向右只可以延拓到有限区间[t0,β),其中(t0,x0)为平面上任一点．则由解的延拓定理,当t→β时,x=φ(t)无界．但另一方面,由假设,存在M＞0使得对任意的(t,x)都有｜f(t,x)｜≤M．从而都有一M≤φ'(t)≤M,在该不等式中从t0到t积分,得一M(t一t0)≤φ(t)一φ(t0)≤M(t—t0),t∈[t0,β)．故都有｜φ(t)J≤｜φ(t0)｜+M(β一t0),这表明当t→β时,x=φ(t)有界．这与当t→β时,x=φ(t)无界矛盾,因此原方程的任一解均可延拓到整个区间(一∞,+∞)．