验证 设A(t)是区间[α β]上的n×n阶连续矩阵函数 f(t)是区问[α β]上的不恒为零的n维

正确答案：设x₁(t)…x_n(t)是齐次线性方程组的一个基本解组x_p(t)是非齐次线性方程组的一个特解我们要证明y₁(t)=x₁(t)+x_p(t)…y_n(t)=x_n(t)+x_p(t)y_n｜1(t)=x_p(t)是非齐次线性方程组的n+1个线性无关的解．事实上显然它们是该方程组的解若有常数α₁…α_n+1使得 α₁y₁(t)+…+α_n∥y_n-1(t)≡0t∈[αβ即在区间[αβ上 α₁x₁(t)+…+α_nx_n(t)+(α₁+…+α_n+1)x_p(t)≡0则必有α₁+…+α_n+1=0否则x_p(t)同时为x=A(t)x及x=A(t)x+f(t)的解这是不可能的因为．f(t)不恒为零．由此得 α₁x₁(t)+…+α_nx_n(t)≡0由于x₁(t)…x_n(t)是齐次线性方程组x=A(t)x的一个基本解组因此必有α₁=…=α_n=0故必有α_n+1=0．这样我们就证明了x=A(t)x+f(t)存在n+1个线性无关的解． 下面证明它至多存在n+1个线性无关的解．若不然设该方程组存在m个线性无关的解z₁(t)…z_m(t)其中m≥n+2．则w₁(t)：=z₁(t)一z_m(t)…w_m-1(t)：=z_m-1(t)一z_m(t)为齐次线性方程组x=A(t)x的m一1个解．下面证明w₁(t)…w_m-1(t)线性无关．事实上若有常数β₁…β_m-1使得 β₁w₁(t)+…+β_m-1w_m-1(t)≡0t∈[αβ即在区间[αβ上由于z₁(t)…z_m(t)线性无关故必有β₁=…=β_m-1=0．因此齐次线性方程组x=A(t)x有m-1≥n+1个线性无关的解但这是错误的． 综上所述非齐次线性方程组x=A(t)x+f(t)至多存在n+1个线性无关的解．
设x1(t),…,xn(t)是齐次线性方程组的一个基本解组,xp(t)是非齐次线性方程组的一个特解,我们要证明y1(t)=x1(t)+xp(t),…,yn(t)=xn(t)+xp(t),yn｜1(t)=xp(t)是非齐次线性方程组的n+1个线性无关的解．事实上显然它们是该方程组的解,若有常数α1,…,αn+1使得α1y1(t)+…+αn∥yn-1(t)≡0,t∈[α,β,即在区间[α,β上,α1x1(t)+…+αnxn(t)+(α1+…+αn+1)xp(t)≡0,则必有α1+…+αn+1=0,否则xp(t)同时为x=A(t)x及x=A(t)x+f(t)的解,这是不可能的,因为．f(t)不恒为零．由此得α1x1(t)+…+αnxn(t)≡0,由于x1(t),…,xn(t)是齐次线性方程组x=A(t)x的一个基本解组,因此必有α1=…=αn=0,故必有αn+1=0．这样我们就证明了x=A(t)x+f(t)存在n+1个线性无关的解．下面证明它至多存在n+1个线性无关的解．若不然,设该方程组存在m个线性无关的解z1(t),…,zm(t),其中m≥n+2．则w1(t)：=z1(t)一zm(t),…,wm-1(t)：=zm-1(t)一zm(t)为齐次线性方程组x=A(t)x的m一1个解．下面证明w1(t),…,wm-1(t)线性无关．事实上,若有常数β1,…,βm-1使得β1w1(t)+…+βm-1wm-1(t)≡0,t∈[α,β,即在区间[α,β上,由于z1(t),…,zm(t)线性无关,故必有β1=…=βm-1=0．因此齐次线性方程组x=A(t)x有m-1≥n+1个线性无关的解,但这是错误的．综上所述,非齐次线性方程组x=A(t)x+f(t)至多存在n+1个线性无关的解．