验证 利用解的存在唯一性定理证明：方程组的解组{xk(t)：k=1 2 … n)线性无关的充要条件是

正确答案：充分性设方程组的解组{x_k(t)：k=12…n的Wronski行列式detX(t)在某点t=t₀∈[αβ处取值不为零则{X_k(t₀)：k=12…n线性无关由配套教材中定理3．2的证明可知解组(X_k(t)：k=12…n线性无关．必要性用反证法．设方程组的解组{x_k(t)：k=12…n线性无关但在区间α≤t≤β上它的Wronski行列式detX(t)≡0．取定t₀∈[αβ则{x_k(t₀)：k=12…n)线性相关即存在不全为零的常数C₁…C_n使得 C₁x₁(t₀)+C₂x₂(t₀)+…+C_nx_n(t₀)=0．显然C₁x₁(t)+C₂x₂(t)+…+C_nx_n(t)和x(t)≡0都是方程组的满足初值条件x(t₀)=0的解因此由解的存在唯一性定理知必有 C₁x₁(t)+C₂x₂(t)+…+C_nx_n(t)≡0．故{x_k(t)：k=12…n线性相关但这与假设矛盾．
充分性设方程组的解组{xk(t)：k=1,2,…,n的Wronski行列式detX(t)在某点t=t0∈[α,β处取值不为零,则{Xk(t0)：k=1,2,…,n线性无关,由配套教材中定理3．2的证明可知解组(Xk(t)：k=1,2,…,n线性无关．必要性用反证法．设方程组的解组{xk(t)：k=1,2,…,n线性无关但在区间α≤t≤β上它的Wronski行列式detX(t)≡0．取定t0∈[α,β,则{xk(t0)：k=1,2,…,n)线性相关,即存在不全为零的常数C1,…,Cn使得C1x1(t0)+C2x2(t0)+…+Cnxn(t0)=0．显然C1x1(t)+C2x2(t)+…+Cnxn(t)和x(t)≡0都是方程组的满足初值条件x(t0)=0的解,因此由解的存在唯一性定理知必有C1x1(t)+C2x2(t)+…+Cnxn(t)≡0．故{xk(t)：k=1,2,…,n线性相关,但这与假设矛盾．