如果n级矩阵A满足A2=I(此时称A是对合矩阵) 则rank(I+A)+rank(I—A)=n．请帮

正确答案：设A—I=(b₁b₂…b_n)由A²=I得 (A+I)(A—I)=0(A+I)b_i=0i=12…n．所以A—I的每一列均为(A+I)x=0的解．rank(A—I)≤n—rank(A+D即rank(A—I)+rank(A+I)≤n (1)而由A²=I可知｜A｜=1或一1所以｜A｜≠0rank(A)=n．所以Arank(A-I)+rank(A+I)≥rank(A+I+A—I)=rank(2A)=n (2)(1)、(2)式结合得rank(A—I)+rank(A+I)=n
设A—I=(b1,b2,…,bn),由A2=I得(A+I)(A—I)=0,(A+I)bi=0,i=1,2,…,n．所以A—I的每一列均为(A+I)x=0的解．rank(A—I)≤n—rank(A+D即rank(A—I)+rank(A+I)≤n(1)而由A2=I可知,｜A｜=1或一1,所以｜A｜≠0,rank(A)=n．所以Arank(A-I)+rank(A+I)≥rank(A+I+A—I)=rank(2A)=n(2)(1)、(2)式结合得rank(A—I)+rank(A+I)=n