设向量组α1 α2 α3 α4线性无关 判断向量组α1+α2 α2+α3 α3+α4 α4+α1是否
设向量组α1,α2,α3,α4线性无关，判断向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1是否线性无关?
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参考解答
456***101
2024-11-13 20:42:17
正确答案：由题意知α1α2α3α4线性无关故k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0只有k1=k2=k3=k4=0时才成立．当k1'(α1+α2)+k2'(α2+α3)+k3'(α3+α4)+k4'(α1+α4)=0故(k1'+k4')α1+(k1'+k2')α2+(k2'+k3')α3+(k3'+k4')α4=0故
其系数行列式
故该方程有非零解α1+α2α2+α3α3+α4α4+α1线性相关．
由题意知α1,α2,α3,α4线性无关,故k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0,只有k1=k2=k3=k4=0时才成立．当k1'(α1+α2)+k2'(α2+α3)+k3'(α3+α4)+k4'(α1+α4)=0故(k1'+k4')α1+(k1'+k2')α2+(k2'+k3')α3+(k3'+k4')α4=0故其系数行列式故该方程有非零解,α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1线性相关．
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