如果α与β是数域K上n级矩阵A的属于不同特征值的特征向量 则α+β不是A的特征向量．请帮忙给出正确答
如果α与β是数域K上n级矩阵A的属于不同特征值的特征向量，则α+β不是A的特征向量．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
473***101
2024-11-14 00:03:40
正确答案：假设α+β为A的属于某个特征值λ的特征向量则有A(α+β)=λ(α+β)根据已知Aα=λ1αAβ=λ2β得A(α+β)=Aα+Aβ=λ1α+λ2β从而必有λ1α+λ2β=λ(α+β)即(λ—λ1)α+(λ一λ2)β=0．因为a卢属于不同的特征值所以αβ线性无关．于是λ—λ1=0λ=λ2=0λ=λ1=λ2此与题设矛盾故α+β不是A的特征向量．
假设α+β为A的属于某个特征值λ的特征向量,则有A(α+β)=λ(α+β)根据已知Aα=λ1α,Aβ=λ2β得A(α+β)=Aα+Aβ=λ1α+λ2β从而必有λ1α+λ2β=λ(α+β),即(λ—λ1)α+(λ一λ2)β=0．因为a,卢属于不同的特征值,所以α,β线性无关．于是λ—λ1=0,λ=λ2=0,λ=λ1=λ2,此与题设矛盾,故α+β不是A的特征向量．
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