应用Euler方法解初值问题 对于方程＝－2aχ 证明：用改进的Euler方法求解或变形的Euler

正确答案：设y(0)＝c则方程的精确解为y＝－aχ²＋c对于给定步长h记χ_n＝nh由改进的Euler法有 y_n+1＝y_n－ah²(2n＋1) ＝y_n-1一ah²(2n－1)－ah²(2n＋1) … ＝y₀－ah²[(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋3＋1 ＝c－ah²(n＋1)²＝－aχ_n+1²＋c 与精确解完全一致。 由变形的Euler方法 y_n+1＝y_n＋hf(χ_n＋y_n＋hf(χ_ny_n)) 也能得到 Y_n+1＝y－ah²(2n＋1) ＝y_n-1－ah²(2n－1)－ah²(2n＋1) ＝… ＝－a_n+1²χ＋c 与精确解一致。
设y(0)＝c,则方程的精确解为y＝－aχ2＋c,对于给定步长h,记χn＝nh,由改进的Euler法有yn+1＝yn－ah2(2n＋1)＝yn-1一ah2(2n－1)－ah2(2n＋1)…＝y0－ah2[(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋3＋1＝c－ah2(n＋1)2＝－aχn+12＋c与精确解完全一致。由变形的Euler方法yn+1＝yn＋hf(χn＋,yn＋hf(χn,yn))也能得到Yn+1＝y－ah2(2n＋1)＝yn-1－ah2(2n－1)－ah2(2n＋1)＝…＝－an+12χ＋c与精确解一致。