设A∈Rn×n为对称正定矩阵 χ∈Rn ‖χ‖＝是Rn中的一种向量范数。请帮忙给出正确答案和分析 谢
设A∈Rn×n为对称正定矩阵，χ∈Rn，‖χ‖＝
是Rn中的一种向量范数。
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
406***102
2024-11-17 04:59:04
正确答案：只要验证它满足向量范数的三个条件。 (1)因为A对称正定因此对任意χ∈Rnχ≠0有 ‖χ‖＝
＞0 当且仅当χ＝0时‖χ‖＝0； (2)对任意k∈R有｜kχ｜＝
＝｜k｜‖χ‖ (3)因为A对称正定所以总可以分解为A＝LLT其中L为非奇异的下三角阵于是 ‖χ‖＝
从而对任意χy∈Rn恒有 ‖χ＋y‖＝‖LT(χ＋y)‖2＝‖LTχ＋LTy‖2 ≤‖LTχ‖2＋‖LTy‖2＝‖χ‖＋‖y‖ 综上所述‖χ‖＝
是Rn中的一种范数。
只要验证它满足向量范数的三个条件。(1)因为A对称正定,因此对任意χ∈Rn,χ≠0,有‖χ‖＝＞0当且仅当χ＝0时‖χ‖＝0；(2)对任意k∈R有｜kχ｜＝＝｜k｜‖χ‖(3)因为A对称正定,所以总可以分解为A＝LLT,其中L为非奇异的下三角阵,于是‖χ‖＝从而对任意χ,y∈Rn,恒有‖χ＋y‖＝‖LT(χ＋y)‖2＝‖LTχ＋LTy‖2≤‖LTχ‖2＋‖LTy‖2＝‖χ‖＋‖y‖综上所述,‖χ‖＝是Rn中的一种范数。
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