证明：曲面M：x(x y)=(x y f(x y))的第1 第2基本形式分别为从球面M=S2(R)：

正确答案：北极投影：由北极N(00R)向平面z=0投影(习题2．3．19图(I))．设P(xyz)∈M=S²(R)直线NP交平面z=0于(uv0)．由于相似三角形对应成比例故有再由△NPS∽△NOQ得到用uv表示球面参数使得(也可参阅[7第9页)x(uv)=(x(uv)y(uv)z(uv))=φ^-1(2u2vR(φ～2))dx=φ^-1(2du2dvRdφ)一φ²dφ(2u2vR(φ—2))=2φ^-1(dudv0)一2φ^-2dφ(uv一R)I=dx²=4[φ^-1(dudv0)一φ^-2dφ(uv一R)²=4φ^-2[(dudv0)²+φ^-2(dφ)²(uv一R)²一2φ^-1dφ(dudv0).(uv一R)=4φ^-2[du²+dv²+φ^-2(dφ)²(u²+v²+R²)一2φ^-1dφ(udu+vdv)
北极投影：由北极N(0,0,R)向平面z=0投影(习题2．3．19图(I))．设P(x,y,z)∈M=S2(R),直线NP交平面z=0于(u,v,0)．由于相似三角形对应成比例,故有再由△NPS∽△NOQ,得到用u,v表示球面参数,使得(也可参阅[7第9页)x(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=φ-1(2u,2v,R(φ～2)),dx=φ-1(2du,2dv,Rdφ)一φ2dφ(2u,2v,R(φ—2))=2φ-1(du,dv,0)一2φ-2dφ(u,v,一R),I=dx2=4[φ-1(du,dv,0)一φ-2dφ(u,v,一R)2=4φ-2[(du,dv,0)2+φ-2(dφ)2(u,v,一R)2一2φ-1dφ(du,dv,0).(u,v,一R)=4φ-2[du2+dv2+φ-2(dφ)2(u2+v2+R2)一2φ-1dφ(udu+vdv)