用各种方法证明：(1)平面的测地线为直线；(2)圆柱面的测地线为圆柱螺线 直母线 z=常数截圆柱面所

正确答案：(1)证法1 由平面的第1基本形式I=du²+dv²g_ij=δ_ij(常数)．由此得到从而根据定理2．4．1证明中的公式推得F_ij^k=0．测地线方程就成为即这是平面上直线的参数表示．证法2根据例2．8．1直线作为最短线必为测地线．再根据定理2．8．6平面上的测地线为直线．证法3 由定理2．8．3平面I=du²+dv²的测地线为则有θ=常数v=utanθ+c(c为常数)故测地线为直线．(2)证法1对于圆柱面x(uv)=(RcosuRsinuv)有x_u^'=(一RsinuRcosu0)x_v^'=(001)单位法向量为由于g_ij(EFG)全为常数故从而F_ij^k=0．同(1)的证法1当a₁=0u=b₁(常数)直线它是测地线；当a₂=0v=b₂(常数)圆它是测地线；当a₁≠0a₂≠0圆柱螺线它是测地线．证法2作变换则I=du²+dv²．根据(1)的证法3测地线为或v=(Rtanθ)u+c．于是：当θ=0时v=c测地线为圆柱面与平面z=v=c的交线是半径为R的圆；当时测地线为圆柱螺线x=(RcosuRsinu(Rtanθ)+u+c)；当时测地线为平行z轴的直线．证法3 (a)当时直母线为最短线根据例2．8．1它是圆柱面．上的测地线． (b)当θ=0z=v=常数时它与圆柱面的交线为半径R的圆V₂=(cosusinu0)=n根据定理2．8．4(4)知此圆为圆柱面上的测地线．(c)当时考虑圆柱螺线根据定理2．8．4(4)该圆柱螺线为圆柱面上的测地线．根据定理2．8．6圆柱面上的测地线恰为此三类曲线．
(1)证法1由平面的第1基本形式I=du2+dv2,gij=δij(常数)．由此得到从而,根据定理2．4．1证明中的公式推得Fijk=0．测地线方程就成为即这是平面上直线的参数表示．证法2根据例2．8．1,直线作为最短线必为测地线．再根据定理2．8．6,平面上的测地线为直线．证法3由定理2．8．3,平面I=du2+dv2的测地线为则有θ=常数,v=utanθ+c(c为常数),故测地线为直线．(2)证法1对于圆柱面x(u,v)=(Rcosu,Rsinu,v),有xu'=(一Rsinu,Rcosu,0),xv'=(0,0,1),单位法向量为由于gij(E,F,G)全为常数,故从而Fijk=0．同(1)的证法1,当a1=0,u=b1(常数),直线,它是测地线；当a2=0,v=b2(常数),圆,它是测地线；当a1≠0,a2≠0,圆柱螺线,它是测地线．证法2作变换则I=du2+dv2．根据(1)的证法3,测地线为或v=(Rtanθ)u+c．于是：当θ=0时,v=c,测地线为圆柱面与平面z=v=c的交线,是半径为R的圆；当时,测地线为圆柱螺线x=(Rcosu,Rsinu,(Rtanθ)+u+c)；当时,测地线为平行z轴的直线．证法3(a)当时,直母线为最短线,根据例2．8．1,它是圆柱面．上的测地线．(b)当θ=0,z=v=常数时,它与圆柱面的交线为半径R的圆,V2=(cosu,sinu,0)=n,根据定理2．8．4(4)知,此圆为圆柱面上的测地线．(c)当时,考虑圆柱螺线根据定理2．8．4(4),该圆柱螺线为圆柱面上的测地线．根据定理2．8．6,圆柱面上的测地线恰为此三类曲线．