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设△1为习题3．2．1中的Laplace算子，即△1f=f11+f33．而△2为[20]1．5节定义5中的Laplace—Beltrami算子，即△2：C∞(M，R)→C∞(M，R)，△2f=div gradf．Gauss公式设f与g为曲面M上的C∞函数，D为M的一个区域，aD=C为闭曲线，则当i=1，2时，有：(1)
．其中n为区域D在M上的外法向量，ds为弧长元，dA为面积元；(2)
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参考解答
463***102
2024-11-17 04:28:46
正确答案：×
(1)当i=1时,此外,由d[g(f1ω2一f2ω1)=dg∧(f1ω2一f2ω1)+gd(f1ω2一f2(ω1)=(g1ω1+g2ω2)∧(f1ω2一f2ω1)+g△1fω1∧ω2=(f1g1+f2g2)ω1∧ω2+g△1fω1∧ω2,推得即f1ω2一f2ω1与规范正交标架的选取无关．因此,在C上我们可选取为其单位切向量,n=e1×e3=一e2为C的外法向．在此标架下,沿着C有ω1=ds,ω2=0,从而有当i=2时(参阅[201．5节定理6(1)的证明),因为(ω1∧ω2(ω2=dV=dA)d(g.igradfdV)=g.d(igradfdV)+dg∧igradfdV=gd(igradf)dV+dg(gradf)dV=gdivgradf.dV+(dg,df)dV=g△2f.dV+(▽g,▽f)dV,其中所以(2)由(1)立知,对i=1,2,有
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