刘维尔定理的几何意义是“非常数整函数的值不能全含于一圆之内” 试证明：非常数整函数的值不能全含于一圆
刘维尔定理的几何意义是“非常数整函数的值不能全含于一圆之内”，试证明：非常数整函数的值不能全含于一圆之外．
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参考解答
463***103
2024-11-21 07:36:16
正确答案：(反证法) 设w=f(z)为整函数且非常数若值全含于一圆之外即存在w0及ε0＞0使得对任何z恒有｜f(z)一w0｜＞ε0则有非常数整函数g(z)=
(因｜f(z)一w0｜＞ε0)．所以在z平面上任何点z分母f(z)一w0≠0从而g(z)在z平面上解析即为整函数．又因f(z)非常数所以g(z)非常数其值全含于一圆｜g(z)｜＜
之内与刘维尔定理矛盾．
(反证法)设w=f(z)为整函数且非常数,若值全含于一圆之外,即存在w0及ε0＞0,使得对任何z,恒有｜f(z)一w0｜＞ε0,则有非常数整函数g(z)=(因｜f(z)一w0｜＞ε0)．所以在z平面上任何点z,分母f(z)一w0≠0,从而g(z)在z平面上解析,即为整函数．又因f(z)非常数,所以g(z)非常数,其值全含于一圆｜g(z)｜＜之内,与刘维尔定理矛盾．
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