试证：若a为f(z)的单值性孤立奇点 则a为f(z)的m阶极点的充要条件是 若a为f(z)的单值性孤

正确答案：令g(z)=(z一a)^k(z)．由题设g(z)在K＼{a：0＜｜z一a｜＜R内有界．由定理5．3(3)a为g(z)的可去奇点则a为g(z)的解析点．又由定理5．4(2)若a为f(z)的m级极点则在点a的某去心邻域内能表成f(z)=其中λ(z)在点a邻域内解析且λ(a)≠0． 若m＞k则g(z)以a为m一k级极点与a为g(z)的可去奇点矛盾故m≤k．另一方面若a为f(z)的可去奇点则g(z)在a点仍解析．故题目也成立综合有：a是f(z)的不高于k级的极点或可去奇点．
令g(z)=(z一a)k(z)．由题设,g(z)在K＼{a：0＜｜z一a｜＜R内有界．由定理5．3(3),a为g(z)的可去奇点,则a为g(z)的解析点．又由定理5．4(2),若a为f(z)的m级极点,则在点a的某去心邻域内能表成f(z)=,其中λ(z)在点a邻域内解析,且λ(a)≠0．若m＞k,则g(z)以a为m一k级极点,与a为g(z)的可去奇点矛盾,故m≤k．另一方面若a为f(z)的可去奇点,则g(z)在a点仍解析．故题目也成立,综合有：a是f(z)的不高于k级的极点或可去奇点．