设f(z)是一个整函数 且假定存在着一个非负整数n 以及两个正数R与M 使当｜z｜≥R时 ｜f(z)
设f(z)是一个整函数，且假定存在着一个非负整数n，以及两个正数R与M，使当｜z｜≥R时，｜f(z)｜≤M｜z｜n。
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参考解答
463***103
2024-11-21 13:10:51
正确答案：I．n＞0时f(z)为一个整函数故可设f(z)=a0+a1z+a2z2+…+zkzk+…(｜z｜＜+∞)．由题设任取R1≥R作圆周
：｜z｜=R1于是 
当k＞n时令R1→+∞就有a=0(k=n+1n+2…)． Ⅱ．n=0时由题意知当｜z｜≤R时f(z)在其上连续必有｜f(z)｜≤M 从而在C上｜f(z)｜≤max{M1M)由Liouville定理知f(z)为常数． 综上所述f(z)是一个至多n次的多项式或一常数．
I．n＞0时,f(z)为一个整函数,故可设f(z)=a0+a1z+a2z2+…+zkzk+…(｜z｜＜+∞)．由题设,任取R1≥R,作圆周：｜z｜=R1,于是当k＞n时,令R1→+∞,就有a=0(k=n+1,n+2,…)．Ⅱ．n=0时,由题意知当｜z｜≤R时,f(z)在其上连续,必有｜f(z)｜≤M,从而在C上｜f(z)｜≤max{M1,M),由Liouville定理知f(z)为常数．综上所述,f(z)是一个至多n次的多项式或一常数．
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