方阵A称为幂零矩阵 如果A的某个正整数次幂等于零矩阵 使A1=0成立的最小正整数Z称为A的幂零指数．
方阵A称为幂零矩阵，如果A的某个正整数次幂等于零矩阵，使A1=0成立的最小正整数Z称为A的幂零指数．证明：与幂零矩阵相似的矩阵仍是幂零矩阵，并且其幂零指数相同．
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参考解答
456***101
2024-11-13 21:00:11
正确答案：若A为幂零矩阵且A～B则存在可逆方阵P使P-1AP=B当t=0时Al=Bl=I从而Al～Bl当Al≠20时(P-1AP)l=Bl即P叫A-1P=Bl所以Al～Bl即存在可逆矩阵P使得Bl=P-1AlP=0所以B仍为幂零矩阵．但是当k为小于l的正整数时Ak≠0且Bk一P-1AkP由于相似矩阵的秩相同所以Bk≠O命题得证．
若A为幂零矩阵,且A～B则存在可逆方阵P,使P-1AP=B,当t=0时,Al=Bl=I,从而Al～Bl,当Al≠20时(P-1AP)l=Bl,即P叫A-1P=Bl,所以Al～Bl,即存在可逆矩阵P使得Bl=P-1AlP=0,所以B仍为幂零矩阵．但是当k为小于l的正整数时,Ak≠0,且Bk一P-1AkP,由于相似矩阵的秩相同,所以Bk≠O,命题得证．
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